ペットボトルロケットの打ち上げ



運動方程式


断面積 S1、長さ L の円柱に断面積 Sの小さな噴出口のついた容器を考えます。
空気と密度 &rho の水が入っているとき、空気の圧力を P、温度を T、容器の外の大気圧を PA とします。
さらに,容器の上面を０とした座標系で水面の位置を x とします。

１、ロケットに対する水の噴出速度を求める。

水の噴出速度 u は定常状態におけるベルヌーイの定理

P/&rho = u2 /2 +PA /&rho

より、

u = (2(P-PA)/&rho)1/2 ・・・(1)

となります。（厳密にいえば水の噴出過程は定常状態ではないけれど、準定常状態と考えられます。）
また、水の質量保存より

m = &rho S1 dx/dt = &rho Su・・・(2)

そして、容器内の水面は空気に押されて移動するわけですが、この現象は短時間で起こるので
空気の膨張は断熱膨張とみなせ、

P(S1x)&gamma=P0(S1x0)&gamma

が成り立ちます。ここで、P0, x0 はそれぞれ P, x の初期値であり、&gammaは比熱比Cp/Cvで、
2原子分子からなる空気の場合 7/5 です。上の式より

P=P0(x0/x)&gamma・・・(3)

を得ます。また断熱変化ではTV&gamma -1=一定なので

T=T0(x0/x)&gamma -1・・・(4)

も得られます。
よって、(1),(2),(3)より

dx/dt = S(2(P0(x0/x)&gamma-PA)/&rho)1/2/S1 ・・・(5)

が得られます。

２、ロケットの運動を考える。

ロケットの質量（水を含む）を M、地上の静止系から見たロケットの速度を V とします。
噴出した水からロケットが受ける力は、水の単位時間当たりの運動量変化に等しいので

F = &rho Su2・・・(6)

であり、空気抵抗を無視した場合のロケットの運動方程式は

M dV/dt= &rho Su2 - Mg

となります。また、容器のみの質量をM0とすると

M = M0 + &rho(L-x)S1・・・(7)

となります。よって

dV/dt = &rho Su2/(M0 + &rho(L-x)S1) - g ・・・(8)
dX / dt = V・・・(9)

が得られます。


プログラム

計算結果